KALKULUS KEKONTINUAN

Kekontinuan 

f(x) dapat dikatakan kontinu di x = a

jika memenuhi :

1. f(a) ada

2. Lim f(x) ada => lim f(x) = lim f(x)

     x→ a                                  x→ a                 x→a2

3. Lim f(x) = f(a)

      x→ a 

Contoh Soal

Jawaban No 3

LATIHAN SOAL

Periksa apakah f(x) kontinu di R

1 + x2, x ≤ 0

f(x) = 2 – x, 0<x ≤ 2

(x - 2)2, x > 2

Tentukan nilai a dan b agar f(x)

kontinu di R

ax + b, x ≤ 0

f(x) = x2 + 3a – b, 0<x ≤ 2

3x - 5, x > 2

f(x) = ax2+bx −4       , x< 2

         x −2

       2 – 4x                     x ≥ 2

KALKULUS LIMIT - PERTEMUAN 7

 

LIMIT TROGONOMETRI 

Limit fungsi trigonometri memiliki definisi sebagai nilai terdekat suatu sudut dalam fungsi trigonometri. Perhitungan ini dapat disubstitusikan layaknya limit fungsi aljabar, tapi dengan fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu. Fungsi trigonometri tersebut harus diubah menjadi identitas trigonometri untuk limit tak tentu, yaitu limit yang jika disubstitusikan akan bernilai 0.

CONTOH :

Misalnya nilai c pada domain.

Lim sin x = sin c dan lim cos x = cos c

 

contoh: Lim t2 cos tt+1

= lim t2

t+1.

cos t1

= (lim t 2t+1) . (lim cos t)

(020+1) . (cos 0)

 

= 0 . 1 = 1

Contoh lain : 1). Lim sin x

x=sin 0

0=00: 2). Lim 1 − cos x

x=1 − cos 0

0=1 −10=00

Limit Trigonometri

x→c-x→c-t→o t→o

t→o t→o

x→o Bentuk special pada limit trigonometri

 

 

 

limit Tak Hingga

Limit di tak hingga merupakan kajian yang tepat untuk mengetahui kecendrungan suatu fungsi jika nilai variabelnya dibuat semakin besar. Kita katakan, x menuju tak hingga, ditulis x → ∞, artinya nilai x semakin besar atau bertambah besar tanpa batas.

 

x = 1       → f(x) = 1
x = 10     → f(x) = 0,01
x = 100   → f(x) = 0,0001
x = 1000 → f(x) = 0,000001

 

Limit di Tak Hingga 

 

Limit di tak hingga merupakan kajian yang tepat untuk mengetahui kecendrungan suatu fungsi jika nilai variabelnya dibuat semakin besar. Kita katakan, x menuju tak hingga, ditulis x → ∞, artinya nilai x semakin besar atau bertambah besar tanpa batas.

 

 

Lim f(x) = L atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

 

KALUKUS LIMIT FUNGSI

 1. Limit Fungsi

 Limit merupakan sebuah konsep matematika yang dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit ini juga dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

SIFAT LIMIT FUNGSI 

Misalkan L, G, C, dan k adalah bilangan real dan lim f(x) =L dan lim g(x) = G, maka :

 

1. Lim [F(x) ± g(x)] lim F(x) ± lim g(x) =L+G

2. Lim (k. F(x)) = k . Lim F(x) = k . L

3. Lim [F(x) . g(x)] = lim F(x) . Lim g(x) = L . G\

4. Limf(x)g(x) =lim f(x)lim g(x) =LG.G ≠ 0

5. Lim (f(x))n = (lim f(x)). n bilangan bulat positif

6. Lim n f x = n lim f(x) = L . Jika n genap, maka L harus positif

 

CONTOH SOAL LIMIT FUNGSI 

 

 

 

JAWAB :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• LIMIT SEPIHAK

 

        Limit sepihak adalah salah satu dari dua batas daro fungsi

 

 

  

dari variabel bilangan real  sebagai  mendekati titik tertentu baik dari kiri atau dari kanan.

 

 

CONTOH SOAL LIMIT SEPIHAK

 

 

1.limx→2x2−3x+2x−2

 

2.limx→0100|x|

 

Jawab:

1. Diperoleh
limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→2(x−1)=1

2. Diperoleh
Karena
 |x|={x−x;x≥0;x<0
maka:
limx→0+100|x|=limx→0+100x=+∞
limx→0−100|x|=limx→0−100−x=+∞
Sehingga:
limx→0100|x|=+∞

 

KALKULUS FUNGSI

 Domain dan Range Fungsi

1. Fungsi Linier

    Bentuk umum : f(x) = ax + b dimana ax adalah koefisien dan b adalah konstanta
    grafik fungsi linear :
     Garis lurus

      1) gambarkan grafik : y = x + 1

- Fungsi Kuadrat

Bentuk umum : f(x) = ax2 + bx + c dimana ax2 dan bx adalah koefisien dan c adalah konstanta

Grafik : parabola

- Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi mempunyai bentuk umum : f(x) . g(x) → f o g(x) = f(g(x))

- Fungsi Komposisi

Contoh : diketahui f(x) = √x g(x)=x-2 tentukan

Dfog dan Rfog

Df = { x ∈ R | x ≥ 0} Dg= [-∞ ∞)

= [0,∞)

Rf = [0,∞) Rg= [-∞ ∞)

Lalu apakah fog ada?

Df ∩ Rg = [0,∞) ∩ [-∞ ∞) =[0,∞) ≠ ∅

Jadi fog ada atau terdefinisi

(fog) (x) = f(g(x)) = f(x-2) = √x-2

Untuk mencari Dfog maka harus menguraikan beberapa bentuk

Dfog = { x ∈ Dg | g(x) ∈ Df }

= { x ∈ (-∞, ∞) | x-2 ∈ [0, ∞) }

= { x ∈ (-∞, ∞) | x-2 ≥ 0}

= { x ∈ (-∞, ∞) | x ≥ 2}

= (-∞, ∞) ∩ [2, ∞)

= [2, ∞)

Fungsi Komposisi

Rfog = { y ∈ Rf | y = f(t), t ∈ Rg }

= { y ∈ [0, ∞) | y = √t, t ∈ (-∞, ∞) }

= { y ∈ [0, ∞) | y ∈ [0, ∞) }

= [0, ∞) ∩ [0, ∞)

= [0, ∞)

Apabila kita ingin mencari Dgof maka caranya:

Dgof = { x ∈ Df | f(x) ∈ Dg }

= { x ∈ (-∞, ∞) | √x ∈ (-∞, ∞) }

= { x ∈ (-∞, ∞) | x ∈ [-∞, ∞) }

= (-∞, ∞) ∩ [0, ∞)

= [0, ∞)

Rfog = { y ∈ Rg | y = g(t), t ∈ Rf }

= { y ∈ (-∞, ∞) | y = t-2, t ∈ [0, ∞) }

t y=t-2

0 -2

1 -1

2 0

3 1

= { y ∈ (-∞, ∞) | y ∈ [-2, ∞) }

=[-2, ∞)